C06 : Performances statiques des systèmes - Modéliser, résoudre et expérimenter

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Théorème des actions réciproques (ou mutuelles)

Fondamental

Quels que soient les solides et en équilibre, le torseur des actions mécaniques exercées par sur est l'opposé du torseur des actions mécaniques exercées par sur  :

\boxed{\quad \forall t, \quad \forall S_1, S_2, \quad \left \{ \mathcal T_{S_2 \rightarrow S_1} \right \} = -\, \left \{ \mathcal T_{S_1 \rightarrow S_2}\right \} \quad \text{ ou encore} \quad \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow R_{S_2 \rightarrow S_1}=- \,\overrightarrow R_{S_1 \rightarrow S_2} \\ \overrightarrow M_{P, \, S_2 \rightarrow S_1}=- \,\overrightarrow M_{P, \,S_1 \rightarrow S_2} \quad , \forall P \end{array} \right. }

Preuve :

Soit un système matériel à l'équilibre dans supposé galiléen, composé de deux sous-systèmes et (également à l'équilibre).

L'équilibre des systèmes , et s'écrit :

En additionnant les deux dernières équations d'équilibre, il vient :

Or et

Ainsi,

D'où le résultat :

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